back to greece

Matematici
    . [greece]

FIBONACCI

[Estratto da: A. Frajese - Attraverso la storia della matematica]

Contesto storico

E` noto (L. Russo, La rivoluzione dimenticata) che l'impostazione rigorosa della matematica moderna e delle scienze esatte che ne derivano (ottica, idrostatica, astronomia, ecc.) ebbe origine nell'epoca e nel mondo ellenistici del III-II sec. a.C., raggiungendo i massimi livelli con Euclide, Apollonio e Archimede.

Il primo, sistemo` secondo criteri di rigore l'edificio della geometria elementare e dell'aritmetica, in forma così definitiva che la storia dell'insegnamento della matematica e della geometria elementare attraverso i secoli è essenzialmente la storia delle graduali deviazioni rispetto agli Elementi di Euclide.

Archimede e Apollonio svilupparono teorie avanzate. Archimede gettando le basi dei procedimenti del calcolo infinitesimale, e spiegando oltretutto i suoi procedimenti nel Metodo. Apollonio trattò di vera e propria geometria superiore nel suo trattato sulle coniche.

Al di fuori del periodo classico, il tardo matematico Diofanto ci offre nella sua Aritmetica esempi di calcoli numerici.
Gli studi scientifici cessarono poi in occidente per quasi un millennio, dalla caduta dell'impero romano alla fine del medioevo (dal 500 al 1500 circa).

Fortunatamente la matematica continuò a essere coltivata, se non a progredire, a Bisanzio alla fine del V sec. d.C., nel mondo arabo dei califfi illuminati dal IX al XIII secolo, e anche in India, dove alcuni studiosi ellenisti si erano rifugiati.

Le opere greche, o le loro traduzioni arabe, furono di nuovo disponibili in Europa a partire dal XIII secolo, in seguito all'insediamento dei Normanni in Sicilia (1061-1191) alla "reconquista" cristiana della Spagna (dal 1050 al 1250 circa, tranne Granada nel 1492), e alle conquiste veneziane: sacco di Bisanzio della IV crociata nel 1204, possesso di Cipro, Rodi, Candia e Morea.(link)

Verso il 1460 l'invenzione della stampa permise infine la libera circolazione degli scritti scientifici, fino allora proprietà di monarchi e prelati.

Il recupero scientifico in Europa fu tuttavia molto lento, per il livello d'ignoranza raggiunto, e per il monopolio culturale instaurato dai filosofi e dalla chiesa; Copernico è a cavallo del XV-XVI sec. tra Copernico e Galileo passa un secolo, e un altro tra Galileo e Newton.

Leonardo Pisano

Un matematico, e uno solo, fa eccezione allo schema descritto: Leonardo Pisano, detto il fi' Bonacci, (1170-1250).
Personaggio isolato, apprezzato da Federico II di Svevia e qualche matematico della sua corte, fu talmente in anticipo sul suo tempo che non poté fondare scuola alcuna, e la sua opera restò incompresa per quasi tre secoli.

Il padre di Leonardo, Bonaccio, era impiegato della repubblica di Pisa presso alla dogana di Bugia (oggi Bejaia) in Algeria. Di là chiamò il figlio, perché potesse, forse viaggiando, studiare i procedimenti aritmetici che gli arabi usavano, e che si rivelavano assai utili nel commercio.

Le intenzioni del padre di Leonardo erano dunque abbastanza limitate: ma il giovane andò ben oltre la parte commerciale, interessandosi a tutta la parte teorica, tipica degli Elementi di Euclide.
Egli, uomo dell'occidente, riuscì ad assimilare pienamente tutto l'insieme della matematica classica, sia attraverso le fonti arabe, sia anche a diretto contatto con le fonti antiche.

Che egli abbia trovato utili strumenti nelle opere arabe, poco importa: sta di fatto che il lavoro compiuto da Leonardo Pisano è ammirevole, e sembra effettivamente più il risultato che avrebbero potuto raggiungere vari uomini in più generazioni, anziché quello raggiunto da un solo uomo in pochi anni.

Ricordiamo che nell'alto medioevo l'opera dei matematici antichi, che veniva ricordata attraverso varie notizie, si presentava come qualcosa di prodigioso; i "moderni" dovevano necessariamente limitarsi all'imitazione più cieca, come chi non solo sa di non poter fare opere simili, ma non riesce neppure a comprenderne l'intima struttura.

Una Practica Geometriae anonima, della fine del secolo XII (tradotta nel 1897) recita:

Ego prisci temporis viros miraculo dignos aestimo… Multa miranda et paene incredibilia ratione duce per acumen mentis potenter apprehenderunt… Hoc igitur est, quia eos studio aequare non possum, illud tamen omnino turpe fit, si imitari fastidimus.

Mentre venivano redatte queste frasi di sconsolata ammirazione per l'opera degli antichi, Leonardo Pisano scriveva già le sue prime opere.

Paragoniamo quelle parole elogiative con le seguenti di Leonardo Pisano, nella sua Pratica Geometriae. Si tratta di mostrare che il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio qualsiasi è approssimativamente espresso dalla frazione 22/7: è la determinazione famosa di Archimede(link). Ad essa Leonardo non lesina i suoi elogi, ma...
"Occorre dimostrare in qual modo fu trovato che la circonferenza di ogni e cerchio è tre volte e un settimo il suo diametro, dal filosofo Archimede, e quella scoperta fu bella e molto sottile: io la ripeterò, ma non con i numeri dei quali egli si servì per la dimostrazione, dal momento che è possibile dimostrare con numeri piccoli in modo completo ciò che egli dimostrò con numeri grandi".

È l'atto di nascita della matematica moderna; il solo fatto che un europeo, agli inizi del secolo XIII, osi concepire la possibilità di migliorare una delle classiche ricerche di Archimede costituisce effettivamente il segno dei tempi nuovi che si avvicinano.

Il Liber Abbaci (1202, e poi nel 1928)

La prima parte riguardava la numerazione posizionale e le operazioni con cifre arabe; la seconda contiene esempi di problemi commerciali.

Non mancano poi numerosi problemi, per risolvere alcuni dei quali si usano metodi di analisi indeterminata. Le regole di calcolo si spingono fino ai radicali quadrati e cubici. Un problema nella terza parte è all'origine delle serie di (numeri di) Fibonacci:
"un tale mise una coppia di conigli in un recinto chiuso. Quante paia di conigli vi saranno nel recinto dopo un anno, se ogni mese una coppia genera una nuova coppia, che diviene feconda dopo due mesi?"

La successione che ne risulta:

(1), 1, 2, 3, 5, 8, 13,

in cui ogni numero è la somma dei due precedenti è ancora oggetto di studio, ad es. nel giornale Fibonacci Quarterly. ($)

La seconda opera, Practica Geometriae, del 1220, è dedicata a Domenico Ispano, e tratta della geometria secondo Euclide, con dimostrazioni rigorose di teoremi e problemi applicativi.

La varietà dei problemi trattati e la ricchezza dei metodi impiegati rivelano la padronanza assoluta che Leonardo Pisano ebbe degli argomenti tradizionalmente collegati agli Elementi.

Nel Liber Abbaci e anche nella Pratica Geometriae la teoria delle equazioni di secondo grado è da Leonardo ricavata da ben note fonti arabe; nel risolvere l'equazione di secondo grado egli si limita alle radici positive; tuttavia non rifugge da quei problemi che ammettono soluzioni negative, quando queste abbiano un'interpretazione pratica.

L'imperatore Federico II

Federico II di Svevia, incoronato imperatore del Sacro Romano Impero dal papa nel 1220, sosteneva Pisa contro Genova, in mare, e contro Lucca e Firenze in terraferma, e spese gli anni fino al 1227 per consolidare il suo potere in Italia. Fondò anche nel 1224 l'università di Napoli per educare i funzionari dei suoi stati.

Alcuni studiosi alla sua corte, Michele Scoto, il filosofo Teodoro, e Domenico Ispano, parlarono di Leonardo all'imperatore, che volle incontrarlo a Pisa verso il 1225.

Il matematico Giovanni Panormita presentò a Leonardo un certo numero di problemi matematici; Leonardo presentò le risposte ai quesiti posti alla corte rispose l'anno stesso nell'opuscolo Flos (fiore) dedicato all'imperatore.

Come commenta Cantor:
noi non sappiamo cos'è che dobbiamo ammirare di più: la possibilità che una tale opera potesse essere scritta all'inizio del XIII secolo, oppure la capacità di comprenderla presso la Corte imperiale.

Ci interessa la seconda tra le due questioni trattate nel libretto.

Si tratta di trovare un numero il cui cubo, insieme con due suoi quadrati e dieci volte il numero stesso, dia come somma 20. Si tratta in altri termini di risolvere l'equazione di terzo grado:

x + 2 x + 10 x = 20

(già contenuta nel libro di algebra di Omar Khayyam).

Leonardo dà una soluzione (1,3688081075), approssimata fino alla nona cifra decimale ed espressa in base sessagesimale, senza però spiegare come l'avesse ottenuta.

Continua poi provando che un'equazione generale di terzo grado (tale può esser ritenuta quella proposta) non può esser risolto per mezzo di radicali quadratici (ossia mediante le linee irrazionali che Euclide considera nel libro X dei suoi Elementi), anche sovrapposti.

Risolvere le equazioni di terzo grado fu per molto tempo ritenuto un problema impossibile: non si può tuttavia dire che il risultato di Leonardo abbia esercitato un freno sullo sviluppo delle ricerche. Era piuttosto una tappa importante per lo sviluppo di procedimenti risolutivi delle equazioni, un punto fermo da cui far partire ogni futuro sviluppo.
Con questo contributo, Leonardo Pisano, pur tributario degli Arabi, attraverso i quali risale alla matematica classica, ne supera l'opera.

Una terza opera, il Liber Quadratorum, tratta delle proprietà delle terne pitagoriche altri numeri quadratici. Ad es. egli dimostra che:

  • Ogni quadrato è la somma di due numeri dispari, secondo la formula n + (2n + 1) = (n + 1)
  • Non possono esistere coppie di numeri interi x,y tali che x + y e x - y siano entrambi quadrati.
  • x^4 -y^4 non può essere un quadrato

E così via. Il Liber Quadratorum da solo basterebbe a fare del Fibonacci il più grande autore in teoria dei numeri, da Diofanto al matematico del 17-esimo secolo Pierre Fermat.

Qualche altra opera minore è andata perduta.

L'ultimo documento conosciuto su Fibonacci è un decreto del governo pisano del 1240, che attribuisce uno stipendio al maestro Leonardo Bigollo per i servizi resi insegnando aritmetica e contabilità ai cittadini.

La sua opera fu dunque molto considerata, ma soprattutto per le applicazioni pratiche.

In teoria dei numeri, il lavoro del Fibonacci, restò praticamente sconosciuto per il resto del Medioevo. Trecento anni dopo vedremo gli stessi risultati apparire nell'opera del frate F. Maurolico nel 1520.

Ancor oggi esiste una società degli amici/studiosi di Fibonacci, e un congresso bi-annuale sulla teoria dei numeri porta il suo nome.

The Fibonacci Association
Official Website http://www.mscs.dal.ca/Fibonacci/

The 11th International Conference
on Fibonacci Numbers and Their Applications 2004
http://www.mscs.dal.ca/Fibonacci/eleventh.html

I successori

A parte l'impiego assegnatogli dal governo di Pisa, le opere di Leonardo Pisano non trovano diffusione, e la matematica in Occidente progredisce molto lentamente : fino a che, nella seconda metà del XV secolo, un'opera di Luca Pacioli che conteneva un compendio dell'opera del Fibonacci, fu stampata ed ebbe grande popolarità.

Agli inizi del secolo XVI, gli algebristi della scuola bolognese (Scipione dal Ferro, Nicolò Tartaglia, Gerolamo Cardano, Rafael Bombelli) risolvono le equazioni generali di terzo grado. Ciò fu fatto abbandonando i radicali quadratici e impiegando radicali cubici.
Fu così superata infine l'opera algebrica di Greci e Arabi, che avevano risolto equazioni di terzo grado per casi particolari, ma non in modo generale e per mezzo di regole.

 

p e Archimede

Archimede, nella Misura del cerchio, giunge alla determinazione del rapporto tra circonferenza e diametro, utilizzando una serie di poligoni regolari iscritti o circoscritti al cerchio. Partendo da un esagono, costruisce (con riga e compasso) i poligoni di 12, 24, 48, 96 lati. Determina tramite teoremi di geometria elementare il rapporto dei lati di tali poligoni, e usa quando richiesto valori numerici approssimati, ed esempio per l'irrazionale Ö3 > 256/13.

Archimede si ferma ai poligoni di 96 lati, perché giudica a quel punto l'approssimazione sufficientemente precisa per tutte le applicazioni pratiche. Nulla impedisce di andar oltre, se si ha tempo e voglia; sarà il caso di molti matematici del Medioevo e anche più tardi.

Per il poligono circoscritto di 96 lati Archimede arriva ad es. al valore

p < P96/d < 3 + 667 / 4673 < 3 + 10/70

Dopo un analogo calcolo per i poligoni iscritti, arriva infine al famoso risultato:

3 + 10/71 < p < 3 + 10/70 = 3+1/7 = 22/7

La frazione 22/7 sarà il valore di p utilizzato attraverso tutto il medioevo.

 

[F. Soso]   [Top] [Mai 2003]