FIBONACCI
[Estratto da: A. Frajese - Attraverso la storia della
matematica]
Contesto storico
E` noto (L. Russo, La rivoluzione dimenticata) che
l'impostazione rigorosa della matematica moderna e delle scienze
esatte che ne derivano (ottica, idrostatica, astronomia, ecc.)
ebbe origine nell'epoca e nel mondo ellenistici del III-II
sec. a.C., raggiungendo i massimi livelli con Euclide, Apollonio
e Archimede.
Il primo, sistemo` secondo criteri di rigore l'edificio della
geometria elementare e dell'aritmetica, in forma così
definitiva che la storia dell'insegnamento della matematica
e della geometria elementare attraverso i secoli è
essenzialmente la storia delle graduali deviazioni rispetto
agli Elementi di Euclide.
Archimede e Apollonio svilupparono teorie avanzate. Archimede
gettando le basi dei procedimenti del calcolo infinitesimale,
e spiegando oltretutto i suoi procedimenti nel Metodo. Apollonio
trattò di vera e propria geometria superiore nel suo
trattato sulle coniche.
Al di fuori del periodo classico, il tardo matematico Diofanto
ci offre nella sua Aritmetica esempi di calcoli numerici.
Gli studi scientifici cessarono poi in occidente per quasi
un millennio, dalla caduta dell'impero romano alla fine del
medioevo (dal 500 al 1500 circa).
Fortunatamente la matematica continuò a essere coltivata,
se non a progredire, a Bisanzio alla fine del V sec. d.C.,
nel mondo arabo dei califfi illuminati dal IX al XIII secolo,
e anche in India, dove alcuni studiosi ellenisti si erano
rifugiati.
Le opere greche, o le loro traduzioni arabe, furono di nuovo
disponibili in Europa a partire dal XIII secolo, in seguito
all'insediamento dei Normanni in Sicilia (1061-1191) alla
"reconquista" cristiana della Spagna (dal 1050 al
1250 circa, tranne Granada nel 1492), e alle conquiste veneziane:
sacco di Bisanzio della IV crociata nel 1204, possesso di
Cipro, Rodi, Candia e Morea.(link)
Verso il 1460 l'invenzione della stampa permise infine la
libera circolazione degli scritti scientifici, fino allora
proprietà di monarchi e prelati.
Il recupero scientifico in Europa fu tuttavia molto lento,
per il livello d'ignoranza raggiunto, e per il monopolio culturale
instaurato dai filosofi e dalla chiesa; Copernico è
a cavallo del XV-XVI sec. tra Copernico e Galileo passa un
secolo, e un altro tra Galileo e Newton.
Leonardo Pisano
Un matematico, e uno solo, fa eccezione allo schema descritto:
Leonardo Pisano, detto il fi' Bonacci, (1170-1250).
Personaggio isolato, apprezzato da Federico II di Svevia e
qualche matematico della sua corte, fu talmente in anticipo
sul suo tempo che non poté fondare scuola alcuna, e
la sua opera restò incompresa per quasi tre secoli.
Il padre di Leonardo, Bonaccio, era impiegato della repubblica
di Pisa presso alla dogana di Bugia (oggi Bejaia) in Algeria.
Di là chiamò il figlio, perché potesse,
forse viaggiando, studiare i procedimenti aritmetici che gli
arabi usavano, e che si rivelavano assai utili nel commercio.
Le intenzioni del padre di Leonardo erano dunque abbastanza
limitate: ma il giovane andò ben oltre la parte commerciale,
interessandosi a tutta la parte teorica, tipica degli Elementi
di Euclide.
Egli, uomo dell'occidente, riuscì ad assimilare pienamente
tutto l'insieme della matematica classica, sia attraverso
le fonti arabe, sia anche a diretto contatto con le fonti
antiche.
Che egli abbia trovato utili strumenti nelle opere arabe,
poco importa: sta di fatto che il lavoro compiuto da Leonardo
Pisano è ammirevole, e sembra effettivamente più
il risultato che avrebbero potuto raggiungere vari uomini
in più generazioni, anziché quello raggiunto
da un solo uomo in pochi anni.
Ricordiamo che nell'alto medioevo l'opera dei matematici
antichi, che veniva ricordata attraverso varie notizie, si
presentava come qualcosa di prodigioso; i "moderni"
dovevano necessariamente limitarsi all'imitazione più
cieca, come chi non solo sa di non poter fare opere simili,
ma non riesce neppure a comprenderne l'intima struttura.
Una Practica Geometriae anonima, della fine del secolo
XII (tradotta nel 1897) recita:
Ego prisci temporis viros miraculo dignos aestimo…
Multa miranda et paene incredibilia ratione duce per acumen
mentis potenter apprehenderunt… Hoc igitur est, quia
eos studio aequare non possum, illud tamen omnino turpe fit,
si imitari fastidimus.
Mentre venivano redatte queste frasi di sconsolata ammirazione
per l'opera degli antichi, Leonardo Pisano scriveva già
le sue prime opere.
Paragoniamo quelle parole elogiative con le seguenti di Leonardo
Pisano, nella sua Pratica Geometriae. Si tratta di mostrare
che il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio
qualsiasi è approssimativamente espresso dalla frazione
22/7: è la determinazione famosa di Archimede(link).
Ad essa Leonardo non lesina i suoi elogi, ma...
"Occorre dimostrare in qual modo fu trovato che la
circonferenza di ogni e cerchio è tre volte e un settimo
il suo diametro, dal filosofo Archimede, e quella scoperta
fu bella e molto sottile: io la ripeterò, ma non con
i numeri dei quali egli si servì per la dimostrazione,
dal momento che è possibile dimostrare con numeri piccoli
in modo completo ciò che egli dimostrò con numeri
grandi".
È l'atto di nascita della matematica moderna; il solo
fatto che un europeo, agli inizi del secolo XIII, osi concepire
la possibilità di migliorare una delle classiche ricerche
di Archimede costituisce effettivamente il segno dei tempi
nuovi che si avvicinano.
Il Liber Abbaci (1202, e poi nel 1928)
La prima parte riguardava la numerazione posizionale e le
operazioni con cifre arabe; la seconda contiene esempi di
problemi commerciali.
Non mancano poi numerosi problemi, per risolvere alcuni dei
quali si usano metodi di analisi indeterminata. Le regole
di calcolo si spingono fino ai radicali quadrati e cubici.
Un problema nella terza parte è all'origine delle serie
di (numeri di) Fibonacci:
"un tale mise una coppia di conigli in un recinto chiuso.
Quante paia di conigli vi saranno nel recinto dopo un anno,
se ogni mese una coppia genera una nuova coppia, che diviene
feconda dopo due mesi?"
La successione che ne risulta:
(1), 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
in cui ogni numero è la somma dei due precedenti è
ancora oggetto di studio, ad es. nel giornale Fibonacci
Quarterly. ($)
La seconda opera, Practica Geometriae, del
1220, è dedicata a Domenico Ispano, e tratta della
geometria secondo Euclide, con dimostrazioni rigorose di teoremi
e problemi applicativi.
La varietà dei problemi trattati e la ricchezza dei
metodi impiegati rivelano la padronanza assoluta che Leonardo
Pisano ebbe degli argomenti tradizionalmente collegati agli
Elementi.
Nel Liber Abbaci e anche nella Pratica Geometriae la teoria delle
equazioni di secondo grado è da Leonardo ricavata da
ben note fonti arabe; nel risolvere l'equazione di secondo
grado egli si limita alle radici positive; tuttavia non rifugge
da quei problemi che ammettono soluzioni negative, quando
queste abbiano un'interpretazione pratica.
L'imperatore Federico II
Federico II di Svevia, incoronato imperatore del Sacro Romano
Impero dal papa nel 1220, sosteneva Pisa contro Genova, in
mare, e contro Lucca e Firenze in terraferma, e spese gli
anni fino al 1227 per consolidare il suo potere in Italia.
Fondò anche nel 1224 l'università di Napoli
per educare i funzionari dei suoi stati.
Alcuni studiosi alla sua corte, Michele Scoto, il filosofo
Teodoro, e Domenico Ispano, parlarono di Leonardo all'imperatore,
che volle incontrarlo a Pisa verso il 1225.
Il matematico Giovanni Panormita presentò a Leonardo
un certo numero di problemi matematici; Leonardo presentò
le risposte ai quesiti posti alla corte rispose l'anno stesso
nell'opuscolo Flos (fiore) dedicato all'imperatore.
Come commenta Cantor:
noi non sappiamo cos'è che dobbiamo ammirare di
più: la possibilità che una tale opera potesse
essere scritta all'inizio del XIII secolo, oppure la capacità
di comprenderla presso la Corte imperiale.
Ci interessa la seconda tra le due questioni trattate nel
libretto.
Si tratta di trovare un numero il cui cubo, insieme con due
suoi quadrati e dieci volte il numero stesso, dia come somma
20. Si tratta in altri termini di risolvere l'equazione di
terzo grado:
x³ + 2 x²
+ 10 x = 20
(già contenuta nel libro di algebra di Omar
Khayyam).
Leonardo dà una soluzione (1,3688081075), approssimata
fino alla nona cifra decimale ed espressa in base sessagesimale,
senza però spiegare come l'avesse ottenuta.
Continua poi provando che un'equazione generale di terzo
grado (tale può esser ritenuta quella proposta) non
può esser risolto per mezzo di radicali quadratici
(ossia mediante le linee irrazionali che Euclide considera
nel libro X dei suoi Elementi), anche sovrapposti.
Risolvere le equazioni di terzo grado fu per molto tempo
ritenuto un problema impossibile: non si può tuttavia
dire che il risultato di Leonardo abbia esercitato un freno
sullo sviluppo delle ricerche. Era piuttosto una tappa importante
per lo sviluppo di procedimenti risolutivi delle equazioni,
un punto fermo da cui far partire ogni futuro sviluppo.
Con questo contributo, Leonardo Pisano, pur tributario degli
Arabi, attraverso i quali risale alla matematica classica,
ne supera l'opera.
Una terza opera, il Liber Quadratorum, tratta
delle proprietà delle terne pitagoriche altri numeri
quadratici. Ad es. egli dimostra che:
- Ogni quadrato è la somma di due numeri dispari,
secondo la formula n² + (2n + 1)² = (n + 1)²
- Non possono esistere coppie di numeri interi x,y tali
che x² + y² e x² - y² siano entrambi quadrati.
- x^4 -y^4 non può essere un
quadrato
E così via. Il Liber Quadratorum da solo basterebbe
a fare del Fibonacci il più grande autore in teoria
dei numeri, da Diofanto al matematico del 17-esimo secolo
Pierre Fermat.
Qualche altra opera minore è andata perduta.
L'ultimo documento conosciuto su Fibonacci è un decreto
del governo pisano del 1240, che attribuisce uno stipendio
al maestro Leonardo Bigollo per i servizi resi insegnando
aritmetica e contabilità ai cittadini.
La sua opera fu dunque molto considerata, ma soprattutto
per le applicazioni pratiche.
In teoria dei numeri, il lavoro del Fibonacci, restò
praticamente sconosciuto per il resto del Medioevo. Trecento
anni dopo vedremo gli stessi risultati apparire nell'opera
del frate F. Maurolico nel 1520.
Ancor oggi esiste una società
degli amici/studiosi di Fibonacci, e un congresso bi-annuale
sulla teoria dei numeri porta il suo nome.
The Fibonacci Association
Official Website http://www.mscs.dal.ca/Fibonacci/
The 11th International Conference
on Fibonacci Numbers and Their Applications 2004
http://www.mscs.dal.ca/Fibonacci/eleventh.html
I successori
A parte l'impiego assegnatogli dal governo di Pisa, le opere
di Leonardo Pisano non trovano diffusione, e la matematica
in Occidente progredisce molto lentamente : fino a che, nella
seconda metà del XV secolo, un'opera di Luca Pacioli
che conteneva un compendio dell'opera del Fibonacci, fu stampata
ed ebbe grande popolarità.
Agli inizi del secolo XVI, gli algebristi della scuola bolognese
(Scipione dal Ferro, Nicolò Tartaglia, Gerolamo Cardano,
Rafael Bombelli) risolvono le equazioni generali di terzo
grado. Ciò fu fatto abbandonando i radicali quadratici
e impiegando radicali cubici.
Fu così superata infine l'opera algebrica di Greci
e Arabi, che avevano risolto equazioni di terzo grado per
casi particolari, ma non in modo generale e per mezzo di regole.
p e Archimede
Archimede, nella Misura del cerchio, giunge alla determinazione
del rapporto tra circonferenza e diametro, utilizzando una
serie di poligoni regolari iscritti o circoscritti al cerchio.
Partendo da un esagono, costruisce (con riga e compasso) i
poligoni di 12, 24, 48, 96 lati. Determina tramite teoremi
di geometria elementare il rapporto dei lati di tali poligoni,
e usa quando richiesto valori numerici approssimati, ed esempio
per l'irrazionale Ö3 >
256/13.
Archimede si ferma ai poligoni di 96 lati, perché
giudica a quel punto l'approssimazione sufficientemente precisa
per tutte le applicazioni pratiche. Nulla impedisce di andar
oltre, se si ha tempo e voglia; sarà il caso di molti
matematici del Medioevo e anche più tardi.
Per il poligono circoscritto di 96 lati Archimede arriva
ad es. al valore
p < P96/d
< 3 + 667½ / 4673½ < 3 + 10/70
Dopo un analogo calcolo per i poligoni iscritti, arriva infine
al famoso risultato:
3 + 10/71 < p
< 3 + 10/70 = 3+1/7
= 22/7
La frazione 22/7 sarà il valore di p
utilizzato attraverso tutto il medioevo.
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