Pi greco attraversi i tempi

Già un versetto della bibbia da` per una vasca di bronzo nel tempio di Salomone (950 a.C.) un diametro di 10 cubiti per una circonferenza di 30.

All'epoca, gli egiziani usavano un valore di 25/8 (3.125), e i mesopotamici di Ö10 (3.162).
Nel papiro di Rhind, si consiglia di togliere 1/9 al diametro prima di costruirvi un quadrato di area equivalente a quella del cerchio, il che da` p = 3.16.

Archimede, calcolando il perimetro di poligoni regolari iscritti e circoscritti al cerchio, di 6, 12, …, 96 lati, determina due limiti per p (vedi sotto)

3 + 10/71 < p< 3+ 10/70

Il secondo valore, pari a 22/7, fu usato per tutto il medioevo, e anche più tardi coloro che calcolarono valori più precisi non fecero che spingere sempre più lontano il calcolo di Archimede.

Altri valori storici (attuale, p = 3,14159)

A parte eventualmente il valore cinese, nessuno di questi valori si diparte da Archimede. Si noti che dal 400 d.C. al 1400 d.C. i lavori matematici sono di origine araba.

La quadratura del cerchio

A partire da Anassagora, tutti i matematici greci (Enopide, Antifone, Brisone, Ippocrate, Ippia) si occuparono del problema.
I greci distinsero tre tipi di problemi:

a) "piani", risolubili con costruzioni eseguite con riga e compasso su n piano, come richiesto da Enopide.

b) "solidi", risolubili con curve della famiglia delle sezioni coniche.

c) "lineari", risolti con la costruzione di curve apposite ("forzate") o con movimenti complessi

Molte soluzioni brillanti del tipo b) e c) furono proposte dai matematici greci, designati ironicamente con un apposito aggettivo che voleva dire "quadratori del cerchio", ma nessun matematico greco osò mai affermare di aver trovato una soluzione con riga e compasso.

Più tardi, invece, molti pretesero di aver trovato una simile soluzione, da al Haytam ( ~ 1000) ai matematici medioevali, fino a Leonardo che credette che il problema si potesse risolvere meccanicamente.
Nel 1761 Lambert provò che p è irrazionale; il numero di presunti quadratori del cerchio aumentò in modo tale che nel 1775 l'Accademia di Parigi, seguita qualche anno dopo dalla Royal Society, annunciarono che no avrebbero più preso in esame proposte di quadratura del cerchio con riga e compasso.

Ma risultò impossibile convincere molti solutori dilettanti del loro errore, tanto che nel 1872 De Morgan nominò San Vito patrono dei quadratori del cerchio.
Finalmente nel 1880 Lindemann dimostrò che p è trascendente (cioè non è radice di nessuna equazione polinomiale a coefficienti razionali); ma questo non pose fine alle lettere di scopritori di qualche nuovo metodo…

p e Archimede

Archimede, nella Misura del cerchio, giunge alla determinazione del rapporto tra circonferenza e diametro, utilizzando una serie di poligoni regolari iscritti o circoscritti al cerchio. Partendo da un esagono, costruisce (con riga e compasso) i poligoni di 12, 24, 48, 96 lati. Determina tramite teoremi di geometria elementare il rapporto dei lati di tali poligoni, e usa quando richiesto valori numerici approssimati, ed esempio per l'irrazionale Ö3 > 256/13.

Archimede si ferma ai poligoni di 96 lati, perché giudica a quel punto l'approssimazione sufficientemente precisa per tutte le applicazioni pratiche. Nulla impedisce di andar oltre, se si ha tempo e voglia; sarà il caso di molti matematici del Medioevo e anche più tardi.

Per il poligono circoscritto di 96 lati Archimede arriva ad es. al valore

p < P96/d < 3 + 667½ / 4673½ < 3 + 10/70

Dopo un analogo calcolo per i poligoni iscritti, arriva infine al famoso risultato:

3 + 10/71 < p < 3 + 10/70 = 3+1/7 = 22/7

La frazione 22/7 sarà il valore di p utilizzato attraverso tutto il medioevo.